Lecture देखो
AC voltage generation और slip ring की बनावट
Armature conductor का घूमना, Faraday का induction और waveform की geometry
Faraday का नियम और armature की कार्यप्रणाली
जब active लंबाई $L$ और $N$ फेरों वाली एक समतल armature coil, एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के अंदर स्थिर कोणीय गति $\omega$ से घूमती है, तो चुंबकीय flux linkage $\Phi(t)$ समय के साथ sinusoidal तरीके से बदलता है। विद्युत चुंबकीय प्रेरण के Faraday के नियम से:
जहां अधिकतम peak EMF $E_m = N B A \omega$ है ($A$ coil का cross-sectional area है, $\text{m}^2$ में)।
सिर्फ वही coil side flux lines को काटती हैं जो घूमने की धुरी के समानांतर होती हैं। आगे और पीछे के end-turn flux नहीं काटते, वो सिर्फ series में जोड़ने वाले connector का काम करते हैं।
AC alternator में carbon brush के साथ दो पूरे बेलनाकार slip ring लगे होते हैं। हिस्सों में बंटे commutator (जो signal को mechanically pulsating DC में बदल देते हैं) के उलट, slip ring sinusoidal polarity को बिना टूटे वैसा ही रखते हैं।
Waveform के दो domain
AC signal को time या angle, दोनों में दिखाया जा सकता है:
Average value और effective (RMS) value की derivation
Coulomb charge की बराबरी बनाम Joule heating की बराबरी
किसी waveform का एक period $T$ पर गणितीय औसत, उसके नीचे के area (integral) को cycle की लंबाई से भाग देकर निकलता है:
Sine wave में positive और negative हिस्से का area बराबर और चिह्न उल्टा होता है, इसलिए $V_{\text{avg, full cycle}} = 0$।
Average value एक positive half cycle ($0$ से $\pi$) पर निकाली जाती है:
Effective value उस स्थिर DC current के बराबर होती है जो उतने ही समय में resistor $R$ में AC जितनी ही Joule heat पैदा करे:
- S (Square): Signal का वर्ग करो: $i(t) \to i^2(t)$। इससे negative हिस्से खत्म हो जाते हैं।
- M (Mean): एक period पर integrate करके औसत लो: $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} i^2(\theta)d\theta$.
- R (Root): आखिर में वर्गमूल निकालो।
Piecewise और symmetrical waveform के लिए तरीका
Triangular या trapezoidal waveform, जिनकी समीकरण टुकड़ों में होती है ($f(\theta) = \frac{F_m}{\alpha}\theta$), उनमें याद रखो कि वर्ग करने पर negative हिस्सा positive हो जाता है ($(-5)^2 = (+5)^2 = 25$)। जब वर्ग किया हुआ function symmetric हो, तो पूरे cycle में टुकड़ों में integrate करने की जगह सिर्फ आधे period ($0$ से $\pi$) पर integrate करके $\pi$ से भाग दे दो। लंबी गणना बच जाती है।
Form Factor, Crest Factor और power की सच्चाई
Waveform कितना नुकीला है और insulation कब टूटता है, इसके पैमाने
Form Factor ($K_f$)
Effective (RMS) value और half cycle average value का अनुपात
RMS में वर्ग की हुई heating energy शामिल होती है, इसलिए वो average के बराबर या उससे ज्यादा ही होगी: $K_f \ge 1.0$। शुद्ध sinusoidal AC के लिए $K_f = 1.11$ होता है।
Peak / Crest Factor ($K_p$)
अधिकतम peak amplitude और RMS value का अनुपात
Underground cable, switch और high-voltage bushing का insulation तय करने में ये बहुत जरूरी है। Insulation को peak voltage $V_m = 1.414 \times V_{\text{rms}}$ झेलना ही पड़ेगा।
11 kV transmission line का मिथक
मिथक: Power transmission voltage (11 kV, 33 kV, 66 kV, 132 kV) 11 के गुणज इसलिए होते हैं क्योंकि AC का Form Factor $1.11$ है।
असली सच: Form Factor का transmission voltage से कोई लेना-देना नहीं है। शुरुआती British distribution grid ने $10\text{ kV}$ को standard माना और line में voltage drop की भरपाई के लिए उसमें 10% margin जोड़ दिया ($10\text{ kV} \times 1.10 = 11\text{ kV}$)!
$K_f$ का असली काम: Transformer की iron core में बनने वाला EMF Form Factor से तय होता है ($E = 4 K_f f N \Phi_m$)। Non-sinusoidal harmonic distortion से $K_f$ बिगड़ता है, जिससे hysteresis और eddy-current core loss बढ़ जाते हैं।
⚡ Interactive tool: AC waveform parameter
Phasor domain और passive element (R, L, C)
Time domain के differential को complex algebra की समीकरणों में बदलना
Vector बनाम घूमते हुए phasor
Vector किसी स्थिर दिशा वाली मात्रा को दिखाता है (जैसे बल या field intensity)। Phasor Complex plane में बनी एक दिशा वाली रेखा है जो स्थिर कोणीय गति $\omega$ से घड़ी की उल्टी दिशा में घूमती है। Phasor का real projection ही असली तात्कालिक signal होता है: $v(t) = \text{Re}\{V_m e^{j(\omega t + \phi)}\}$। अगर frequency $\omega$ बदल जाए, तो नया phasor diagram बनाना पड़ेगा।
| Component | Time relation | Impedance ($Z$) | Phase relation | Frequency के छोर पर व्यवहार |
|---|---|---|---|---|
| Resistor ($R$) | $v(t) = R \, i(t)$ | $Z_R = R \angle 0^\circ$ | In Phase ($\phi = 0^\circ$) | $\omega$ कुछ भी हो, resistance स्थिर रहता है |
| Inductor ($L$) | $v(t) = L \frac{di}{dt}$ | $Z_L = j\omega L = \omega L \angle 90^\circ$ | Voltage, current से $+90^\circ$ आगे | DC ($\omega=0$): short circuit HF ($\omega \to \infty$): open circuit |
| Capacitor ($C$) | $i(t) = C \frac{dv}{dt}$ | $Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{\omega C} \angle -90^\circ$ | Current, voltage से $+90^\circ$ आगे | DC ($\omega=0$): open circuit HF ($\omega \to \infty$): short circuit |
AC power के संबंध और power triangle
Active energy, magnetizing reactive VAR और apparent rating
$P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos\phi$
Unit: Watt (W)। Circuit के resistance में असल में खर्च होने वाली energy, जिससे काम होता है, गर्मी या रोशनी मिलती है।
$Q = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \sin\phi$
Unit: VAR (volt-ampere reactive)। Inductor और capacitor में बदलते चुंबकीय और विद्युत क्षेत्र बनाए रखती है। एक cycle में कुल energy खर्च शून्य होता है।
$\mathbf{S} = \mathbf{V} \mathbf{I}^* = P + jQ$
Unit: VA (volt-ampere)। Supply के सारे साधनों (turbine, generator, transformer और cable) पर पड़ने वाला कुल load।
Power Factor ($\text{pf} = \cos\phi$)
Power Factor, असली काम (active power) और कुल मांग (apparent power) का अनुपात है: $\text{pf} = \frac{P}{|S|}$। Form Factor ($K_f \ge 1$) के उलट, Power Factor हमेशा $0 \le \text{pf} \le 1$ के बीच रहता है। Phasor notation में complex power निकालते समय Current का complex conjugate ($\mathbf{I}^*$) लेना पड़ता है, ताकि IEEE/IEC नियम के हिसाब से lagging inductive current का reactive power positive ($+jQ$) आए।
AC circuit में resonance (series बनाम parallel)
Impedance का काल्पनिक हिस्सा शून्य और Power Factor 1 होने की शर्त
Series resonance (acceptor circuit)
न्यूनतम $Z$, अधिकतम $I$ये तब होता है जब inductive reactance और capacitive reactance बराबर हो जाएं: $X_L = X_C \implies \omega L = \frac{1}{\omega C}$। Circuit पूरी तरह resistive ($Z = R$) हो जाता है और current अपने उच्चतम $I_{\max} = V/R$ पर पहुंच जाता है।
- $R$ हर frequency पर स्थिर रहता है।
- $X_L = 2\pi f L$ शून्य से शुरू होकर सीधी रेखा में बढ़ता है।
- $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ अनंत से शुरू होकर hyperbola की तरह घटता है।
- कुल reactance $(X_L - X_C)$ , $f_0$ पर शून्य हो जाता है।
Parallel resonance (rejector / tank)
अधिकतम $Z$, न्यूनतम $I$असली parallel tank circuit में loss वाली inductor coil ($R_L + j\omega L$) एक आदर्श capacitor ($C$) के साथ parallel में होती है। Resonance पर कुल impedance अपने dynamic अधिकतम मान पर पहुंच जाता है।
Series resonance में coil का resistance $R$ , $f_0$ को नहीं बदलता। Parallel resonance में ऐसा नहीं है, यहां coil का अंदरूनी resistance $R_L$ सीधे resonant frequency को घटाता है और अधिकतम dynamic impedance को भी कम कर देता है।
📻 Series RLC resonance और selectivity calculator
University exam और viva के सवालों का bank
Theory के जाल वाले सवाल, पूरे proof और हल किए हुए numerical
Complex power की समीकरण $S = V I^*$ में current का complex conjugate ($I^*$) क्यों लिया जाता है?
अगर conjugate लिए बिना सीधे $S = V I$ निकालें, तो angle $\angle(\theta_v + \theta_i)$ आएगा। ये reference चुनने पर बदल जाता है और इसका कोई भौतिक मतलब नहीं होता। Conjugate $I^* = |I|\angle -\theta_i$ लेने पर angle $\angle(\theta_v - \theta_i)$ आता है, जो ठीक वही load angle $\phi$ है जो हमें चाहिए। इससे IEEE/IEC मानक के हिसाब से lagging inductive load का Reactive power positive (+jQ) आता है।
क्या transmission voltage (11 kV, 33 kV, 66 kV) 1.11 Form Factor से आते हैं?
नहीं, ये बहुत फैला हुआ मिथक है। Transmission voltage के standard शुरुआती British मानकों, generator transformer के turn ratio और line में लगभग 10% voltage drop की छूट से बने हैं। Form Factor का असली इस्तेमाल transformer core का size तय करने और iron core loss निकालने में होता है ($E = 4 K_f f N \Phi_m$)।
शुद्ध sine wave की average value पूरे cycle की जगह half cycle पर क्यों निकाली जाती है?
Odd-wave symmetry की वजह से पहले half cycle ($0$ से $\pi$) का positive area, दूसरे हिस्से ($\pi$ से $2\pi$) के negative area के बराबर और उल्टे चिह्न का होता है। पूरे period पर integrate करें तो कुल area शून्य आता है: $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} V_m \sin\theta \, d\theta = 0$$ शून्य जवाब से electrochemical या rectifier load में charge transfer की कोई काम की जानकारी नहीं मिलती। इसलिए दुनिया भर के नियम के हिसाब से average value एक symmetrical half cycle पर निकाली जाती है: $V_{\text{avg}} = \frac{2V_m}{\pi} \approx 0.637 V_m$।
Slip ring और split-ring commutator में बनावट का क्या फर्क है?
Slip ring Rotor shaft पर लगे बिना टूटे ठोस bronze या brass के ring होते हैं। हर ring अपने carbon brush से लगातार जुड़ी रहती है और शुद्ध AC को बिना बदले बाहर भेजती है। वहीं Commutator अभ्रक (mica) insulation से अलग किए हुए तांबे के हिस्सों में बंटा होता है। वो हर आधे चक्कर ($180^\circ$) पर load के connection mechanically उलट देता है, जिससे बनी AC EMF एक दिशा वाले DC में बदल जाती है।
$i(t) = I_m \sin(\omega t)$ की RMS value, average value, Form Factor और Crest Factor निकालो।
1. Half cycle average value की derivation:
2. RMS value (mean-square integration):
3. Form Factor ($K_f$) और Crest Factor ($K_p$):
समझाओ कि series resonant frequency resistance $R$ पर निर्भर क्यों नहीं करती, जबकि parallel resonant frequency coil resistance $R_L$ पर निर्भर करती है।
Series RLC में कुल impedance सीधा $Z = R + j(\omega L - 1/\omega C)$ होता है। Resonance के लिए reactive हिस्सा शून्य करने पर $\omega_0 L = 1/(\omega_0 C) \implies \omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ मिलता है, जिसमें resistance आता ही नहीं।
असली parallel tank में loss वाली coil की admittance $Y_{\text{coil}} = \frac{R_L - j\omega L}{R_L^2 + \omega^2 L^2}$ और capacitor की admittance $Y_C = j\omega C$ होती है। कुल काल्पनिक admittance शून्य करने पर मिलता है:
$$\frac{\omega L}{R_L^2 + \omega^2 L^2} = \omega C \implies R_L^2 + \omega^2 L^2 = \frac{L}{C} \implies \omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R_L^2}{L^2}}$$
दोनों शाखाओं में current का बंटवारा coil के अंदरूनी resistance पर निर्भर करता है, इसलिए $R_L$ सीधे parallel resonance frequency को घटाता है।
एक series circuit में $R = 10\,\Omega$, $L = 50\,\text{mH}$ और $C = 10\,\mu\text{F}$ है, जो $230\text{ V}, 50\text{ Hz}$ supply से जुड़ा है। Resonant frequency ($f_0$), $Q$-factor और bandwidth ($BW$) निकालो।
$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.05 \times 10^{-5}}}$$
$$Q = \frac{1414.2 \times 0.05}{10}$$
$$BW = \frac{225.08}{7.07}$$
एक voltage $v(t) = 10 \cos(40t)\text{ V}$ को $R = 4\,\Omega$ और $C = 0.05\,\text{F}$ वाले series circuit पर लगाया गया है। Phasor analysis से steady-state current $i(t)$ निकालो।
1. $\omega = 40\text{ rad/s}, \quad \mathbf{V} = 10 \angle 0^\circ\text{ V}$
2. $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{40 \times 0.05} = 0.5\,\Omega \implies \mathbf{Z} = 4 - j0.5\,\Omega$
3. $|\mathbf{Z}| = \sqrt{4^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{16.25} \approx 4.031\,\Omega, \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-0.5}{4}\right) \approx -7.125^\circ$
4. $\mathbf{I} = \frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Z}} = \frac{10 \angle 0^\circ}{4.031 \angle -7.125^\circ} \approx 2.48 \angle +7.125^\circ\text{ A}$
$$\implies i(t) = 2.48 \cos(40t + 7.125^\circ)\text{ A} $$ (Capacitive: current, voltage से $7.125^\circ$ आगे है)